En la escuela siempre se exponen las fórmulas para calcular áreas de distintas figuras, y lo único que hace el estudiante es aprender de memoria dichas fórmulas. Si el alumno es curioso, lo aquejarán cuestiones como ¿por qué se calcula de esa forma?, ¿cómo es que se dedujo?, ¿es la única forma de resolver el problema?, etc.. Lo interesante de las matemáticas no sólo es su aplicación en la resolución de problemas, sino también la deducción y demostración de fórmulas que faciliten el cálculo.
En fin, para eso fue hecho este blog, para desenmarañar los secretos de las verdades que damos por hecho. En esta ocasión, se determinará el área y perímetro de una de las formas bidimensionales más importantes de la geometría, el círculo. Para ello se tomará una figura regular, y se ira aumentando el número de lados, para así aproximarnos a la circunferencia.
La figura regular con menor número de lados, es el triángulo equilátero, cuyo perímetro o extensión de su contorno es igual a la suma de la medida de sus lados y que cada uno de sus ángulos mide 60 grados. Su área se deduce al agregar un triángulo de las mismas dimensiones y acomodarlo para formar un cuadrilátero. De esta forma es fácil darse cuenta que el triángulo se puede ver como la mitad de un cuadrilátero, otra forma de decirlo es:
La siguiente figura es el cuadrado, con cuatro lados iguales y ángulos de 90°. El área de esta figura se calcula dividiendo el mismo en cuadraditos de una unidad (puede ser centímetros, pulgadas, kilómetros, etc) por lado, de esta manera es posible tomar el número de filas y multiplicar las mismas por la cantidad de cuadritos contenidos en una fila.
El pentágono contiene cinco lados y ángulos de la misma magnitud. Para calcular el área de esta figura; primero se divide el pentágono en cinco triángulos iguales ; después se calcula el área de uno de esos triángulos, tomando la base como uno de los lados del pentágono y la altura como la longitud de la recta que empieza en el punto donde convergen todos los triángulos (centro de la figura) hasta la base de dicho triángulo tocándola de forma perpendicular (a esta línea se le conoce como apotema); el último paso es multiplicar el área del triángulo por cinco, es decir, por el número de lados. Para calcular el perímetro, sólo se multiplica el número de lados por la longitud de uno de ellos.
Para figuras con mayor número de lados el procedimiento es análogo al del pentágono, es decir, dividimos la figura de "n" lados en "n" triángulos, se calcula el área de uno de ellos para después multiplicarlo por la cantidad de lados y así se obtiene el área de la figura. El perímetro sólo se deduce al multiplicar la medida de un lado por la cantidad de lados.
Dentro de un circulo de radio "r" es posible colocar una figura regular, de tal forma que cada vértice toque la circunferencia, es decir, que dicha figura este completamente contenida en el círculo. Es fácil notar que la distancia del centro del círculo a cada vértice del polígono es igual a "r". Además, conforme aumenta el número de lados del polígono, éste se acerca más a la forma del círculo.
Ahora se dividirá uno de esos triángulos por la mitad para así obtener dos triángulos rectángulos. Entonces el ángulo de abertura que va de línea de tamaño “r” a la línea del apotema (H), será denotado por “k”.
Como antes se menciono, conforme aumenta el número de lados del polígono, el área y perímetro tienden a los del círculo, entonces:
