Simbología matemática y alfabeto griego.

Simbología matemática.

Alfabeto griego.

Logaritmos.

Los logaritmos son una herramienta de mucha utilidad para el manejo de multiplicaciones, divisiones y extracción de radicales de números muy grandes o con bastantes decimales. Además son muy útiles, ya que por sus propiedades se podrían tomar como función inversa de las relaciones que involucren exponentes. 

   Antes del desarrollo de las maquinas computacionales, los estudiantes e investigadores se auxiliaban de tablas, que contenían aproximaciones de los logaritmos de ciertos valores, así como las cifras que correspondían a cierto número valuado en el logaritmo, con ello podrían resolver problemas como:  0.053950798 x 1.377400629

     El logaritmo es el exponente al cual es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un valor determinado, es decir:

    Propiedades:

    Como ya es costumbre en este blog, primero se enunciarán las propiedades para después ser demostradas o deducidas.

1.-  No existe el logaritmo de un número negativo.

2.-  No existe el logaritmo de cero.

3.-  Para cualquier base el logaritmo de uno es cero.

4.-  Logaritmo de base "a" de "a" es igual uno.

5.-  El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos.

6.-  El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los logaritmos. 

7.-  El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

9.-  Cambio de base. 

   Si existen dudas acerca de la simbología antes usada , haz click en simbologia matematica y alfabeto griego.

     Para más información sobre los exponentes haz click aquí Leyes de los exponentes.

Ángulos notables.

Para resolver problemas en los cuales estén involucrados ángulos, los cálculos pueden llegar a ser difíciles sin ayuda de una calculadora, pero en esta entrada se colocarán los resultados y demostración del seno, coseno y tangente de los ángulos más importantes.

    Para comprobar los resultados de la tercera y quinta columna, se hará uso de un triángulo equilatero, cuyos lados tienen una unidad de longitud. Éste será dividido por la mitad, para así obtener dos triángulos rectángulos, de los cuales serán calculados las medidas que necesitamos.

    El siguiente paso es calcular las razones trigonométricas del triángulo rectángulo de este esquema:

    Para la cuarta columna se usará un triángulo rectángulo con ambos catetos de longitud igual a una unidad.

    Pero, saber sólo las razones trigonométricas de cuatro ángulos, es muy limitado, es por ello que con ayuda de la información del seno, coseno y tangente de la suma y resta de ángulos expuesta en la entrada "Seno, coseno y tangente de suma de ángulos.", será posible deducir  las siguientes razones. 

    Lo siguiente es deducir las razones anteriores:

    En conclusión, para saber el valor de las razones trigonométricas de los ángulos más importantes, sólo es necesario recordar dos cosas; la primera es el seno, coseno y tangente de los ángulos 0°, 30°, 45° y 60°; y la segunda las fórmulas correspondientes a las razones trigonométricas de la suma de ángulos.

El límite

El concepto límite se puede definir de muchas maneras dependiendo el enfoque o contexto, por ejemplo en Geografía, el límite es el lugar que indica el contorno delimitante de cierta población con atributos similares; en filosofía el concepto es muy abierto abarcando desde cuestiones ontológicas como lo son ¿A dónde nos lleva el conocimiento humano? hasta el dónde situar la delgada línea que separa lo que esta bien de lo que esta mal. Pero en lo que se enfocará este escrito es el significado de este concepto en el contexto matemático.

    El concepto de limite en matemáticas es uno de los más importantes, ya que ayuda a comprender de mejor manera algunos de los problemas más frecuentes en el análisis de una función. El significado intuitivo de limite es aproximarse lo más que sea posible a algo, y si de matemáticas es que se habla, ese algo es un valor, por ejemplo, pensemos en el número 1, si queremos acercarnos a ese valor, podemos hacerlo tanto por la"izquierda" como por la "derecha", esto claro tomando la recta real como referencia.

     

 


En este esquema se puede observar que es posible aproximarse a un punto tanto por la izquierda (valores menores al punto), como por la derecha (valores mayores).
 



    El limite de una función es uno de los conceptos más importantes dentro del cálculo, ya que sienta las bases de algunas nociones del mismo, como la derivada, la integral, continuidad, etc. La idea de limite en el cálculo se tiene que madurar, es decir, tenemos que acompañar la definición intuitiva de este concepto con ejemplos para poder tener una mejor comprensión del mismo.
    Conforme se toman valores cercanos a cierto número "a" por la izquierda o por la derecha, es posible observar el comportamiento de dicha función alrededor de la cifra "a", para entender un poco mejor lo antes mencionado, se presentan algunos ejemplos.

Ejemplo 1:
Sea f(x)=2x
Ahora se proponen valores alrededor de 3.

    En este caso en particular el límite por izquierda y por derecha es el mismo. En el ejemplo siguiente se presentará una función con límites laterales distintos alrededor de un punto dado.

    Ejemplo 2:

    

    Esta función no se aproxima al mismo valor por la izquierda que por la derecha del valor 2. En este caso se dice que no existe el límite en 2.
    Ejemplo 3:

    Este tipo de funciones además de no coincidir en sus límite laterales, conforme se acercan a cierto valor, tienden a infinito o menos infinito.
    En conclusión las funciones pueden presentarse de distinta manera, es por ello que se deben analizar de diferente forma según sea su proceder. Para llevar acabo dicho análisis, se puede hacer uso de herramientas como lo son los límites, que darán pistas del comportamiento de las funciones en ciertos puntos de su dominio. 

 

Seno, coseno y tangente de suma de ángulos.

En ocasiones el estudiante se encuentra frente algún problema, en el cual se le demanda el uso de funciones trigonométricas de sumas y/o restas de ángulos. Esto puede llegar a ser un gran problema, pero si se conocen las siguientes identidades se puede salir de forma fácil y elegante de dicha problemática.

    Las siguientes identidades, serán probadas para así poder ser utilizadas de forma segura:

    Para la demostración, se tomará el cuadrante de los positivos del plano cartesiano y una cuarta parte de la circunferencia centrada en el origen, cuyo radio es uno. Serán trazadas dos rectas que surgirán del origen "O" y culminarán en el punto "A" y el punto "B", respectivamente en la circunferencia (líneas azul y roja), es decir su medida será una unidad de longitud. A la apertura que va del eje horizontal a la recta roja se le denominará con el nombre de ángulo x, asimismo al arco formado entre la recta azul y la roja se le llamará ángulo y. Después se tomará una recta que parta del punto "A" y termine intersectando el eje horizontal en forma perpendicular, este punto será nombrado como "C".

    Lo siguiente, será tomar la misma circunferencia con las rectas azul y roja anteriormente mencionada. Ahora se trazará una recta que inicie en el punto "A" y termine tocando de forma perpendicular el segmento "OB" (línea roja), en un punto que tendrá por nombre "D".  De igual manera será trazada una recta que vaya del punto "D" al eje horizontal para partirlo de forma perpendicular en un punto llamado "E".  

   Por último se trazarán dos rectas; una de ellas partirá del eje vertical de forma perpendicular al mismo, hasta un punto "G", pasando por "A"; el punto "G" es el lugar en el cual se forma un ángulo de noventa grados entre la recta antes descrita  y una nueva línea que comienza en el punto "D". Para una mejor visualización de lo antes mencionado, se dejará un esquema señalando de color verde estos dos últimos segmentos.

    De esta forma es fácil notar que se dispone de cuatro triángulos rectángulos, uno de los cuales se analizó, es por ello que en el esquema será mostrado con las medidas ya calculadas anteriormente:

        Se analizarán estos triángulos de arriba hacia abajo:

    Del triángulo anterior se tiene que el segmento "OD" es igual al coseno del ángulo "y", entonces:

    Por ángulos complementarios la apertura entre "DG" y "DA", es igual a "x":

       En resumen.

    Entonces el esquema principal queda de la siguiente manera:

    Como se puede observar, ya se tienen los elementos necesarios para determinar todas las fórmulas, es decir: