Productos Notables

En ocasiones al tener una expresión algebraica, se presentan problemas debido a la complejidad de los factores y sumandos involucrados en la misma. Para solucionarlo, existen herramientas que sintetizan dichas expresiones, para con ello volverlas manipulables, éstas herramientas son conocidas como "productos notables".
    En la jerga matemática al hecho de reducir grandes enunciados algebraicos a una multiplicación de expresiones más simples, se le llama "factorizar".
    A continuación se muestran los productos notables más usados, y como ya es costumbre en éste blog después serán demostradas.

Binomio al cuadrado

Binomio al cubo

Diferencia de cuadrados

Diferencia de cubos

Suma de cubos

Trinomio al cubo

Binomio de Newton

La demostración se realizará por inducción matemática.

Leyes de los exponentes.

Los exponentes son importantes en las matemáticas, debido a que son de gran utilidad para abreviar tanto cantidades muy grandes como muy pequeñas. La definición intuitiva que se tiene de éste concepto, dicta que el exponente es el número de veces que se multiplica una base por sí misma. El formato estándar de los números con exponente, es la siguiente:

Se tienen una serie de reglas asociadas al funcionamiento de los exponentes. Éstas reglas son conocidas como leyes de los exponentes:

   Si te interesa saber sobre la función exponencial, haz click en Función esponencial.

Función exponencial.

Se le llama función exponencial a toda aquella expresión que involucre una base elevada a una o varias variables (pudiendo ser también una función de dicha variable). En términos generales la versión estándar para el caso univariado de esta familia de funciones, es f (x) = ax 

    Donde a es un número positivo distinto de cero y de uno.

    Las funciones de este tipo son de gran importancia en la modelación de ciertos fenómenos físicos, químicos y sociales. Situaciones como el crecimiento de la población en Demografía, calculo de interés compuesto en Finanzas, desintegración del núcleo atómico en Física, por mencionar algunas, serían imposibles de comprender sin el uso y análisis correcto de las funciones exponenciales.
    Tal vez una de las características más importantes de estas funciones, es que de alguna forma pueden ser usados como función inversa de los logaritmos.
Propiedades

    Existe una cifra muy especial, que se encuentra en muchos fenómenos físicos, químicos, demográficos y financieros. Éste valor es el famoso número e, que surge de un curioso desarrollo financiero. 

         La persona 1 invierte un peso a una cuenta de ahorro que gana un interés del 100% anual, es decir, al terminar el año esa persona tendrá  1+1=2 pesos; una persona 2 de igual manera invierte un peso a una tasa del 50% semestral, después de seis meses la cantidad crecerá a (1+1(.5))=(1+1/2) pesos, esa cantidad se reinvierte de la misma manera, entonces después de un año se contará con la cantidad de (1+1/2)(1+1/2)=2.25 pesos; de la misma forma la persona 3 invierte 1 peso a una tasa trimestral de 1/3, así después de un año tendrá (1+1/3)(1+1/3)(1+1/3)=2.37037 pesos, y así sucesivamente, evidentemente entre más pequeños sean los periodos mayor será la ganancia anual, pero ¿qué pasa si los periodos se hacen tan pequeños que el interés se gana de forma instantánea?, ¿se alcanzará la riqueza infinita?.

          Siguiendo la sucesión anterior la persona "n" tendrá una ganancia anual de (1 + 1/n)n

en resumidas cuentas si "n" tiende a infinito la ganancia anual será igual a "e".

         El número "e" es muy importante ya que es la base de el logaritmo napierano, también conocido como logaritmo natural.

      Si existen dudas acerca de la simbología antes usada, haz click en simbologia matematica y alfabeto griego.

        Si te interesa saber más de los logaritmos, haz click en Logaritmos.

Simbología matemática y alfabeto griego.

Simbología matemática.

Alfabeto griego.

Logaritmos.

Los logaritmos son una herramienta de mucha utilidad para el manejo de multiplicaciones, divisiones y extracción de radicales de números muy grandes o con bastantes decimales. Además son muy útiles, ya que por sus propiedades se podrían tomar como función inversa de las relaciones que involucren exponentes. 

   Antes del desarrollo de las maquinas computacionales, los estudiantes e investigadores se auxiliaban de tablas, que contenían aproximaciones de los logaritmos de ciertos valores, así como las cifras que correspondían a cierto número valuado en el logaritmo, con ello podrían resolver problemas como:  0.053950798 x 1.377400629

     El logaritmo es el exponente al cual es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un valor determinado, es decir:

    Propiedades:

    Como ya es costumbre en este blog, primero se enunciarán las propiedades para después ser demostradas o deducidas.

1.-  No existe el logaritmo de un número negativo.

2.-  No existe el logaritmo de cero.

3.-  Para cualquier base el logaritmo de uno es cero.

4.-  Logaritmo de base "a" de "a" es igual uno.

5.-  El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos.

6.-  El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los logaritmos. 

7.-  El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

9.-  Cambio de base. 

   Si existen dudas acerca de la simbología antes usada , haz click en simbologia matematica y alfabeto griego.

     Para más información sobre los exponentes haz click aquí Leyes de los exponentes.

Ángulos notables.

Para resolver problemas en los cuales estén involucrados ángulos, los cálculos pueden llegar a ser difíciles sin ayuda de una calculadora, pero en esta entrada se colocarán los resultados y demostración del seno, coseno y tangente de los ángulos más importantes.

    Para comprobar los resultados de la tercera y quinta columna, se hará uso de un triángulo equilatero, cuyos lados tienen una unidad de longitud. Éste será dividido por la mitad, para así obtener dos triángulos rectángulos, de los cuales serán calculados las medidas que necesitamos.

    El siguiente paso es calcular las razones trigonométricas del triángulo rectángulo de este esquema:

    Para la cuarta columna se usará un triángulo rectángulo con ambos catetos de longitud igual a una unidad.

    Pero, saber sólo las razones trigonométricas de cuatro ángulos, es muy limitado, es por ello que con ayuda de la información del seno, coseno y tangente de la suma y resta de ángulos expuesta en la entrada "Seno, coseno y tangente de suma de ángulos.", será posible deducir  las siguientes razones. 

    Lo siguiente es deducir las razones anteriores:

    En conclusión, para saber el valor de las razones trigonométricas de los ángulos más importantes, sólo es necesario recordar dos cosas; la primera es el seno, coseno y tangente de los ángulos 0°, 30°, 45° y 60°; y la segunda las fórmulas correspondientes a las razones trigonométricas de la suma de ángulos.

El límite

El concepto límite se puede definir de muchas maneras dependiendo el enfoque o contexto, por ejemplo en Geografía, el límite es el lugar que indica el contorno delimitante de cierta población con atributos similares; en filosofía el concepto es muy abierto abarcando desde cuestiones ontológicas como lo son ¿A dónde nos lleva el conocimiento humano? hasta el dónde situar la delgada línea que separa lo que esta bien de lo que esta mal. Pero en lo que se enfocará este escrito es el significado de este concepto en el contexto matemático.

    El concepto de limite en matemáticas es uno de los más importantes, ya que ayuda a comprender de mejor manera algunos de los problemas más frecuentes en el análisis de una función. El significado intuitivo de limite es aproximarse lo más que sea posible a algo, y si de matemáticas es que se habla, ese algo es un valor, por ejemplo, pensemos en el número 1, si queremos acercarnos a ese valor, podemos hacerlo tanto por la"izquierda" como por la "derecha", esto claro tomando la recta real como referencia.

     

 


En este esquema se puede observar que es posible aproximarse a un punto tanto por la izquierda (valores menores al punto), como por la derecha (valores mayores).
 



    El limite de una función es uno de los conceptos más importantes dentro del cálculo, ya que sienta las bases de algunas nociones del mismo, como la derivada, la integral, continuidad, etc. La idea de limite en el cálculo se tiene que madurar, es decir, tenemos que acompañar la definición intuitiva de este concepto con ejemplos para poder tener una mejor comprensión del mismo.
    Conforme se toman valores cercanos a cierto número "a" por la izquierda o por la derecha, es posible observar el comportamiento de dicha función alrededor de la cifra "a", para entender un poco mejor lo antes mencionado, se presentan algunos ejemplos.

Ejemplo 1:
Sea f(x)=2x
Ahora se proponen valores alrededor de 3.

    En este caso en particular el límite por izquierda y por derecha es el mismo. En el ejemplo siguiente se presentará una función con límites laterales distintos alrededor de un punto dado.

    Ejemplo 2:

    

    Esta función no se aproxima al mismo valor por la izquierda que por la derecha del valor 2. En este caso se dice que no existe el límite en 2.
    Ejemplo 3:

    Este tipo de funciones además de no coincidir en sus límite laterales, conforme se acercan a cierto valor, tienden a infinito o menos infinito.
    En conclusión las funciones pueden presentarse de distinta manera, es por ello que se deben analizar de diferente forma según sea su proceder. Para llevar acabo dicho análisis, se puede hacer uso de herramientas como lo son los límites, que darán pistas del comportamiento de las funciones en ciertos puntos de su dominio.